Question

某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即定价为原来的（1+

x

10

）倍，0＜x≤10，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．
（1）若y=ax，其中a是满足

1

3

≤a＜1的常数，用a来表示当售货金额最大时x的值．
（2）若y=

2

3

x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p（1+

x

10

），n（1-

y

10

），npz，写出要的算式，根据基本不等式得到结果，求出答案；
（2）把所给的关系代入关系式，使得式子大于1，解出关于x的不等式，得到结果．

解答：解：（1）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
p（1+

x

10

），n（1-

y

10

），npz
因而有：npz=p（1+

x

10

）•n（1-

y

10

），
∴z=

1

100

(10+x)(10-y)，在y=ax的条件下 …（4分）
z=

1

100a

(10a+ax)(10-ax)，
∵

1

3

≤a≤1，0＜x＜10，
∴10-ax＞0
∴（10a+ax）（10-ax）≤

[(10a+ax)+(10-ax)]2

4

=25(a+1)2，
当且仅当10a+ax=10-ax，即x=

5(1-a)

a

时成立．
即要使的销售金额最大，只要z值最大，这时应有x=

5(1-a)

a

．  …（8分）
（2）由z=

1

100

(10+x)(10-

2x

3

)＞1
得0＜x＜5
即使售货金额比原来有所增加的x的取值范围事（0，5）…（12分）

点评：题主要考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程等知识点，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，这是一道很好的题目．