题目内容
5.设函数f(x)对任意实数x满足f(x+a)-f(x)=$\sqrt{3}$[1+f(x)•f(x+a)],讨论f(x)的周期性.分析 由已知条件,可得f(x+a),两次将x换为x+a,化简变形,即可得到f(x+3a)=f(x),由周期函数的定义,即可得到所求周期.
解答 解:f(x+a)-f(x)=$\sqrt{3}$[1+f(x)•f(x+a)],
可得f(x+a)=$\frac{\sqrt{3}+f(x)}{1-\sqrt{3}f(x)}$,
将x换为x+a,可得f(x+2a)=$\frac{\sqrt{3}+f(x+a)}{1-\sqrt{3}f(x+a)}$=$\frac{f(x)-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}f(x)}$,
将x换为x+a,可得f(x+3a)=$\frac{f(x+a)-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}f(x+a)}$,
代入f(x+a)=$\frac{\sqrt{3}+f(x)}{1-\sqrt{3}f(x)}$,化简可得f(x+3a)=f(x),
由周期函数的定义可得f(x)的一个周期为3a.
点评 本题考查函数的周期的求法,注意运用赋值法,将x换为x+a,是解题的关键,考查化简能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
15.由点P向圆x2+y2=2引两条切线PA,PB,A,B是切点,则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是( )
A. | 6-4$\sqrt{2}$ | B. | 3-2$\sqrt{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$-3 | D. | 4$\sqrt{2}$-6 |
16.“1<t<4”是“方程$\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的( )
A. | 充分而不必要条件 | B. | 必要而不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |