题目内容
2.已知双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)一条渐近线的倾斜角的取值范围[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$],则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. | [$\sqrt{3}$,2] | B. | (1,$\sqrt{2}$] | C. | [$\sqrt{2},2$] | D. | (1,$\sqrt{3}$] |
分析 求得双曲线的渐近线方程,由题意可得1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$,再由离心率公式和a,b,c的关系,即可得到所求范围.
解答 解:双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x,
由一条渐近线的倾斜角的取值范围[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$],
则tan$\frac{π}{4}$≤$\frac{b}{a}$≤tan$\frac{π}{3}$,
即为1≤$\frac{b}{a}$≤$\sqrt{3}$,
即有1≤$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤3,
即1≤$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$≤3,
则2≤$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≤4,
即$\sqrt{2}$≤e≤2.
故选:C.
点评 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查渐近线方程的运用,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
2.已知二次函数y=ax2+2bx的图象如图所示,则$\root{4}{(a-b)^{4}}$的值为( )
A. | a+b | B. | -(a+b) | C. | a-b | D. | b-a |
7.曲线C以双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦点F为焦点,曲线C上的点到焦点F的距离与到直线x=-2的距离相等,则曲线C上的任意一点P到y轴的距离与到直线x-y+4=0的距离和的最小值为( )
A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{2}$-1 | C. | 3$\sqrt{2}$+2 | D. | 3$\sqrt{2}$-2 |
12.四面体ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角等于( )
A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |