题目内容
【题目】已知函数(
为常数,
).
(Ⅰ)若是函数
的一个极值点,求
的值;
(Ⅱ)求证:当时,
在
上是增函数;
(Ⅲ)若对任意的(1,2),总存在
,使不等式
成立,求实数
的取范围.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)略
(Ⅲ)实数的取值范围为
.
【解析】
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用.以及不等是的求解,和函数单调性的判定的综合运用.
(1)因为
由已知,得即
, 得到a的值,
(2)当时,
当
时,
.又
,
故
在
上是增函数
(3)当时,由(Ⅱ)知,
在
上的最大值为
于是问题等价于:对任意的,不等式
恒成立.
利用构造函数得到结论.
解:……………1分
(Ⅰ)由已知,得即
,
……3分
经检验,满足条件.……………………………………4分
(Ⅱ)当时,
…………5分
当
时,
.又
,
故
在
上是增函数
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,
在
上的最大值为
于是问题等价于:对任意的,不等式
恒成立.
记
则…………………………9分
当时,有
,且
在区间(1,2)上递减,且
,则
不可能使
恒成立,故必有
…………11分
当,且
若,可知
在区间
上递减,在此区间
上有
,与
恒成立矛盾,故
,这时
,即
在(1,2)上递增,恒有
满足题设要求.
,即
,所以,实数
的取值范围为
.……………………14分
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【题目】近几年来我国电子商务行业发展迅猛,2016年元旦期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)完成商品和服务评价的列联表,并说明是否可以在犯错误的概率不超过
的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量.
①求对商品和服务全好评的次数的分布列(概率用组合数算式表示);
②求的数学期望和方差.
参考数据及公式如下:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(,其中
)