题目内容

【题目】已知函数.

(1)求函数的定义域;

(2)判断的奇偶性;

(3)方程是否有实根?如果有实根请求出一个长度为的区间使如果没有,请说明理由(注:区间的长度

【答案】(1)定义域为(-1,1);(2)见解析;(3) .

【解析】【试题分析】(1)根据对数真数为正数,求得函数的定义域为.(2)利用奇偶性的定义判断出,故函数为奇函数.(3)将原方程等价变形为,构造函数,利用二分法可判断出函数的根在区间.

【试题解析】

(1)∵

∴-1<x<1,故函数的定义域为(-1,1).

f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称

f(x)为奇函数.

(3)由题意知方程f(x)=x+1等价于log2(1-x)-log2(1+x)=x+1,可化为(x+1)2x+1x-1=0.

g(x)=(x+1)2x+1x-1,x∈(-1,1),

g×2-1=<0,

g(0)=2-1=1>0,

gg(0)<0,故方程在上必有实根.

又∵g×2-1=

>0,

gg<0,

故方在上必有实根.

又∵区间长度-

∴满足题意的一个区间为.

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