题目内容
【题目】如图,四边形ABCD中,AB⊥CD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
(Ⅰ)若BE= ,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且
,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值,并求此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,
FD⊥EF,
∴FD⊥平面ABEF,又AF平面ABEF,
∴FD⊥AF,
在折起过程中,AF⊥EF,同时FD∩EF=F,
∴AF⊥平面EFDC,
以F为坐标原点,分别以FE,FD,FA所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
当BE= 时,F(0,0,0),A(0,0,
),D(0,
,0),C(1,
,0),
平面ABEF的法向量 =(0,
,0),
∵ =
,∴
=
+
=
,
∴P(0, ,
),
∴ =(﹣1,
,
),
∵CP∥平面ABEF,∴ =
=0,
解得 ,
∴线段AD上点P(0, ),且
,使得CP∥平面ABEF.
(Ⅱ)设BE=x,则AF=x(0<x≤2),FD=3﹣x,
∴VA﹣CDF= =
=﹣
(x﹣
)2+
,
∴当x= 时,VA﹣CDF有最大值,且最大值为
,
∴A(0,0, ),C(1,
,0),D(0,
,0),E(1,0,0),
∴ =(1,0,﹣
),
=(1,
,﹣
),
=(0,0,
),
=(1,
,0),
设平面AEC的一个法向量为 =(x,y,z),
则 ,取x=3,得
=(3,0,2),
设平面ACF的一个法向量 =(a,b,c),
则 ,取a=1,得
=(1,﹣2,0),
cos< ,
>=
=
=
.
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)推导出FD⊥EF,FD⊥AF,以F为坐标原点,分别以FE,FD,FA所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段AD上存在点P(0, ),
,使得CP∥平面ABEF.(Ⅱ)设BE=x,则AF=x(0<x≤2),FD=3﹣x,推导出当x=
时,VA﹣CDF有最大值,且最大值为
,求出此时平面AEC的一个法向量和平面ACF的一个法向量,利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据:
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数.