题目内容
2．某学校实验室有浓度为2g/ml和0.2g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2g/ml和0.2g/ml的两种K溶液各300ml分别装入两个容积都为500ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为ang/ml，B瓶中溶液浓度为bng/ml．（lg2≈0.301，lg3≈0.477）（1）请计算a1，b1，并判定数列{an-bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
（2）若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01g/ml，则至少要经过几次？
分析 （1）通过配制溶液的步骤，可得b1、a1，bn、an，进而可得an-bn的表达式，利用公式计算即可；
（2）解不等式0.9$（\frac{1}{2}）^{n-1}$＜10-2，计算即可．
解答 解：（1）根据题意，可得b1=$\frac{0.2×300+2×100}{300+100}$=0.65g/ml，
a1=$\frac{0.65×100+2×200}{200+100}$=1.55g/ml．
当n≥2时，bn=$\frac{1}{400}（300{b}_{n-1}+100{a}_{n-1}）$=$\frac{1}{4}$（3bn-1+an-1），
an=$\frac{1}{300}$（200an-1+100bn）=$\frac{1}{4}$（3an-1+bn-1），
∴an-bn=$\frac{1}{2}$（an-1-bn-1），
∴等比数列{an-bn}的公比$\frac{1}{2}$，
其首项a1-b1=1.55-0.65=0.9，
∴an-bn=0.9•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）由题意可知，问题转化为解不等式0.9•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$＜10-2，
∴n＞1+$\frac{1+2lg3}{lg2}$≈7.49，
∴至少要操作8次才能达到要求．
点评 本题是一道关于数列的应用题，考查数列的基本性质、通项公式，涉及到对数的运算等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
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| C． | 向左平移$\frac{π}{12}$个单位 | D． | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位 |
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