Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$（ω＞0）的最小正周期为3π．
（I）求函数f（x）在区间[-π，$\frac{3π}{4}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，$\sqrt{3}$a=2csinA，求角C的大小；
（Ⅲ）在（II）的条件下，若f（$\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{11}{13}$，求cosB的值．

Answer 1

分析 （I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由$x∈[{-π，\frac{3π}{4}}]$时，可得：$-\frac{π}{2}≤\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，根据正弦函数的图象和性质即可得解．
（II）由已知$\sqrt{3}a=2csinA$，由正弦定理结合sinA≠0，可得$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合a＜b＜c，即可求C的值．
（Ⅲ）由$f（\frac{3}{2}A+\frac{π}{2}）=\frac{11}{13}$得$cosA=\frac{12}{13}$，由（II）可求sinA，$A+B=\frac{π}{3}$，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．

解答 解：（I）∵$f（x）=\sqrt{3}sinωx-2•\frac{1-cosωx}{2}=2sin（ωx+\frac{π}{6}）-1$，
由函数f（x）的最小正周期为3π，即$\frac{2π}{ω}=3π$，解得$ω=\frac{2}{3}$，
∴$f（x）=2sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}）-1$，
∵$x∈[{-π，\frac{3π}{4}}]$时，可得：$-\frac{π}{2}≤\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，∴$-1≤sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}）≤1$，
所以x=-π时，f（x）的最小值是-3，$x=\frac{π}{2}$时，f（x）的最大值是1．
（II）由已知$\sqrt{3}a=2csinA$，由正弦定理，有$\frac{a}{c}$=$\frac{2sinA}{{\sqrt{3}}}$=$\frac{sinA}{sinC}$，
又sinA≠0，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又因为 a＜b＜c，
∴$C=\frac{2π}{3}$．
（Ⅲ）由$f（\frac{3}{2}A+\frac{π}{2}）=\frac{11}{13}$得$cosA=\frac{12}{13}$．
∵$0＜A＜\frac{π}{3}$，
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{5}{13}$．由$C=\frac{2π}{3}$知$A+B=\frac{π}{3}$，
∴$cosB=cos（\frac{π}{3}-A）=cos\frac{π}{3}cosA+sin\frac{π}{3}sinA=\frac{{12+5\sqrt{3}}}{26}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．