Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（I）求证：AD⊥PC；
（II）求三棱锥P-ADE的体积；
（III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直证明线线垂直即可；
（II）利用三棱锥的换底性，求得棱锥的高与底面面积，再利用体积公式计算即可；
（III）假设存在，根据线面平行的条件，判断M点的位置，再求AM的长即可．

解答：解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD．∴PD⊥AD．
又因为ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．
又∵PC?平面PCD，
∴AD⊥PC．
（II）∵AD⊥平面PCD，V_P-ADE=V_A-PDE，
∴AD是三棱锥A-PDE的高．
∵E为PC的中点，且PD=DC=4，
∴S_△PDE=

1

2

S_△PDC=

1

2

×

1

2

×4×4=4，
∴V_P-ADE=V_A-PDE=

1

3

×4×2=

8

3

．
（III）取AC中点M，连结EM、DM，
∵E为PC的中点，M是AC的中点，
∴EM∥PA，
又因为EM?平面EDM，PA?平面EDM，
∴PA∥平面EDM．
AM=

1

2

AC=

5

即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定、棱锥的体积计算及线面平行的判定．