题目内容
15.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=$\frac{π}{2}$,AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(Ⅰ)证明:CD⊥平面A1OC;
(Ⅱ)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36$\sqrt{2}$,求a的值.
分析 (I)运用E是AD的中点,判断得出BE⊥AC,BE⊥面A1OC,考虑CD∥DE,即可判断CD⊥面A1OC.
(II)运用好折叠之前,之后的图形得出A1O是四棱锥A1-BCDE的高,平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2,运用体积公式求解即可得出a的值.
解答 解:
(I)在图1中,
因为AB=BC=$\frac{1}{2}AD$=a,E是AD的中点,
∠BAD=$\frac{π}{2}$,
所以BE⊥AC,
即在图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
从而BE⊥面A1OC,
由CD∥BE,
所以CD⊥面A1OC,
(II)即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,
根据图1得出A1O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a,
∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2,
V=$\frac{1}{3}×S×{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a3,
由a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a3=36$\sqrt{2}$,得出a=6.
点评 本题考查了平面立体转化的问题,运用好折叠之前,之后的图形,对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练.
练习册系列答案
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(Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客P5坐到5号座位的概率.
(Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
乘客 | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 |
座位号 | 3 | 2 | 1 | 4 | 5 |
3 | 2 | 4 | 5 | 1 | |
3 | 2 | 4 | 1 | 5 | |
3 | 2 | 5 | 4 | 1 |
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