Question

【题目】在四棱锥中，，，.

（1）若点为的中点，求证：平面；

（2）当平面平面时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）通过作的中点，连结，，通过中位线定理分别证明，来证明平面平面，从而证明平面

（2）当平面平面时，再结合题干信息，可作的中点，连接，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法来求解二面角的余弦值

解：（1）取的中点，连结，.

∵为等边三角形，∴.

∴，又，

∴四边形是平行四边形，∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

∵为的中点，为的中点，∴.

同理：平面.

∵，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

（2）取的中点，连结，，则，.

∵平面平面，，

∴平面，∴，，.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，

建立空间直角坐标系.

则，，.

∴，，

平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，则，即.

令，得，，∴平面的一个法向量，

∴.

设二面角的大小为，结合图形可知.