Question

函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）记函数g（x）=x-f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；
（Ⅲ）若方程g（x）-log_a（x-）=0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，
①当0≤x＜1时，f（x）=[x]=0；②当1≤x＜2时，f（x）=[x]=1；
③当2≤x＜3时，f（x）=[x]=2；④当3≤x＜4时，f（x）=[x]=3；
所以f（x）=．
（Ⅱ） g（x）=x-f（x）=，图象如图所示：

（Ⅲ）方程g（x）-=0仅有一根等价于g（x）与h（x）= 图象仅有一个交点，
由图象可知0＜a＜1 时，h（1）=，解得；
a＞1时，h（2）=或，解得1＜a≤或．
综上，a的范围是[，1）∪（1，]∪（，]．
分析：（Ⅰ）按照f（x）的定义，分段讨论即可求出；
（Ⅱ）先把g（x）=x-f（x）表示出来，由g（x）的表达式可作出其图象；
（Ⅲ）数形结合：方程g（x）-log_a（x-）=0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，等价于g（x）与h（x）= 图象仅有一个交点，结合图象可得到a的限制条件，由此可求其范围．
点评：本题考查函数作图、函数解析式的求解及函数的零点问题，本题渗透了数形结合思想、分类讨论思想．