题目内容

4．已知f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{lo{g}_{2}（x-1）}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的单调性．

分析 （1）根据函数成立的条件即可求f（x）的定义域；
（2）利用换元法结合复合函数单调性之间的关系即可判断f（x）的单调性．

解答 解：（1）要使函数有意义，则x-1＞0，即x＞1，即f（x）的定义域为（1，+∞）；
（2）则t=log2（x-1），则y=（$\frac{1}{2}$）t为减函数，
当x＞1，函数t=log2（x-1）为增函数，则此时f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{lo{g}_{2}（x-1）}$为减函数，即函数的单调递减区间为（1，+∞）．

点评 本题主要考查复合函数单调性的应用，利用复合函数单调性的关系结合对数函数和指数函数的性质是解决本题的关键．

练习册系列答案
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14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-lo{g}_{2}（-x），x＜0}\end{array}\right.$，若f（a）＞f（-a），则a的取值范围是（　　）
A．（-1，0）B．（1，+∞）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-1，1）
15．已知函数y=f（x）=（$\frac{1}{3}$）|x+1|
（1）画出函f（x）的图象（简图）；
（2）由图象指出函数（x）的单调区间；
（3）若曲线y=f（x）与直线y=b没有公共点，求实数b的取值范围．
12．下列函数f（x）在x=0处是否连续？为什么？
（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}sin\frac{1}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤0}\\{\frac{sinx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$．
19．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x}^{2}$+（a-1）x（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试问在函数f（x）的图象上是否存在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），使得f（x）在x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线l平行于AB，若存在，求出A，B点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．若f（x）=x2-x+b，且f（log2a）=b，log2|f（a）|=2（a≠1），当满足log2（2-x）≤2时，求f（2x）的最小值及对应的x值．
16．设f（x），g（x）在（-∞，+∞）内有定义，f（x）为连续函数，且f（x）≠0，g（x）有间断点，下列函数中必有间断点的为（　　）
A．g[f（x）]B．[g（x）]2C．f[g（x）]D．$\frac{g（x）}{f（x）}$
13．已知函数f（x）=lg（x+1）-ln（1-x）的定义域为A，g（x）=$\sqrt{2x-1}$的定义域为B，则A∩B=（　　）
A．（-∞，1）B．（-1，$\frac{1}{2}$]C．[$\frac{1}{2}$，1）D．（1，+∞）
14．在△ABC中，a=6，B=30°，c=4，则△ABC的面积是（　　）
A．6B．$6\sqrt{3}$C．12D．$12\sqrt{3}$

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