题目内容
如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p＞0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| b |
（3）当a=2p时，求∠MON的大小．
分析：（1）根据直线的截距式方程易知直线l的方程为
+
=1．
（2）欲证
+
=
，即求
的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标．由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得
+
=
．
（3）设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=
，k2=
．因此k1k2=
=
=-1，所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
| x |
| a |
| y |
| b |
（2）欲证
| 1 |
| y1 |
| 5sin(θ+Φ)+8 | ||
|
| 1 |
| b |
| y1+y2 |
| y1y2 |
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| b |
（3）设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
| y1y2 |
| x1x2 |
| -4p2 |
| 4p2 |
解答：（1）解：直线l的截距式方程为
+
=1．①
（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0．②
点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=
，y1y2=-2pa．
所以
+
=
=
=
．
（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，
则k1=
，k2=
．
当a=2p时，由（2）知，y1y2=-2pa=-4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2=
=
=4p2，
因此k1k2=
=
=-1．
所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
| x |
| a |
| y |
| b |
（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0．②
点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=
| -2pa |
| b |
所以
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
| y1+y2 |
| y1y2 |
| ||
| -2pa |
| 1 |
| b |
（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，
则k1=
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
当a=2p时，由（2）知，y1y2=-2pa=-4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2=
| (y1y2)2 |
| 4p2 |
| (4p2)2 |
| 4p2 |
因此k1k2=
| y1y2 |
| x1x2 |
| -4p2 |
| 4p2 |
所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要根据实际情况，注意培养计算能力，把握公式的灵活运用，仔细审题，谨慎作答，避免不必要的错误．
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