题目内容

如图，在三棱锥A—BCD中，AB、BC、CD两两垂直．

(Ⅰ)由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，哪些是直二面角？(要求全部写出，并说明理由)

(Ⅱ)若AD与平面BCD所成的角为，AD与平面ABC所成的角为，求二面角B—AD—C的余弦值；

(Ⅲ)若AD与平面BCD所成的角为α，AD与平面ABC所成的角为β，且AD＝6，则当α、β为何值时，三棱锥A—BCD的体积最大，最大值是多少？

答案：
解析：

　　本小题考查空间线面关系与空间角的概念，考查逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．

　　解：(I)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C，

　　∴AB⊥平面BCD．∵AB平面ABD，

　　∴平面ABD⊥平面BCD，

　　同理平面ABC⊥平面BCD．

　　∵CD⊥BC，CD⊥AB，BC∩AB＝B，

　　∴CD⊥平面ABC．∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．

　　因此有三个直二面角：A—BD─C，A—BC─D，D─AC─B．

　　(Ⅱ)由AB⊥平面BCD可知，∠ADB即AD与平面BCD所成的角，

　　∴∠ADB＝．同理可得∠DAC＝．

　　如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，作BF⊥AD，垂足为F．连结EF．

　　由(Ⅰ)知，平面ACD⊥平面ABC，∴BE⊥平面ACD．

　　∵BF⊥AD，由三垂线定理的逆定理可知，EF⊥AD，

　　∴∠BFE是二面角B─AD─C的平面角．

　　∵EF＝AFtan＝AF，BF＝AFtan()＝AF，

　　∴cos∠BFE．

　　即二面角B─AD─C的余弦值为．

　　(Ⅲ)∵AD＝6，∠ADB＝α，∠DAC＝β．

　　∴AB＝6sinα，BD＝6cosα，CD＝6sinβ

　　V＝·CD)·AB

　　＝

　　＝36sinβsinα

　　＝36

　　≤36

　　当且仅当，即α＝β＝arctan时，等号成立．

　　故当α＝β＝arctan时，三棱锥A—BCD的体积最大，最大值为4．


练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=
3
，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大小．
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．
精英家教网如图，在三棱锥A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2
2
，动点D在线段AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）当点D运动到线段AB的中点时，求二面角D-CO-B的大小；
（Ⅲ）当CD与平面AOB所成角最大时，求三棱锥C-OBD的体积．
如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AD=2，点E在BC上，且AE⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求点B到平面ACD的距离．
如图，在三棱锥A-BOC中，AO⊥面BOC，二面角B-AO-C是直二面角，OB=OC，∠OAB=
π6
，斜边AB=4，动点D在斜边AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求：异面直线AO与CD所成角大小．
如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=
3
，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD⊥BC
（2）求二面角B-AC-D的大小．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网