题目内容
如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=3 |
(1)求证:AD⊥BC.
(2)求二面角B-AC-D的大小.
(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)方法一:根据三垂线定理可得:作AH⊥面BCD于H,连DH.由长度计算可得:BHCD是正方形,所以DH⊥BC,则AD⊥BC.
方法二:证明异面直线垂直,也可以先证明直线与平面垂直:取BC的中点O,连AO、DO,则有AO⊥BC,DO⊥BC,所以BC⊥面AOD
(2)二面角的度量关键在于作出它的平面角,常用的方法就是三垂线定理.作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,再根据余弦定理即可求得cos∠BMN的大小.
(3)直线与平面所成的角,需先作出平面的垂线:设E是所求的点,作EF⊥CH于F,连FD.则EF∥AH,所以EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.
方法二:证明异面直线垂直,也可以先证明直线与平面垂直:取BC的中点O,连AO、DO,则有AO⊥BC,DO⊥BC,所以BC⊥面AOD
(2)二面角的度量关键在于作出它的平面角,常用的方法就是三垂线定理.作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,再根据余弦定理即可求得cos∠BMN的大小.
(3)直线与平面所成的角,需先作出平面的垂线:设E是所求的点,作EF⊥CH于F,连FD.则EF∥AH,所以EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.
解答:解:(1)方法一:作AH⊥面BCD于H,连DH.
AB⊥BD?HB⊥BD,又AD=
,BD=1
∴AB=
=BC=AC
∴BD⊥DC
又BD=CD,则BHCD是正方形,
则DH⊥BC∴AD⊥BC
方法二:取BC的中点O,连AO、DO
则有AO⊥BC,DO⊥BC,∴BC⊥面AOD
∴BC⊥AD
(2)作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,因为AB=AC=BC=
∵M是AC的中点,则BM=
,MN=
CD=
,BN=
AD=
,由余弦定理可求得cos∠BMN=
∴∠BMN=arccos
(3)设E是所求的点,作EF⊥CH于F,连FD.则EF∥AH,
∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,
则∠EDF=30°.
设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=
,
∴tan∠EDF=
=
=
解得x=
,
则CE=
x=1
故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.
AB⊥BD?HB⊥BD,又AD=
3 |
∴AB=
2 |
∴BD⊥DC
又BD=CD,则BHCD是正方形,
则DH⊥BC∴AD⊥BC
方法二:取BC的中点O,连AO、DO
则有AO⊥BC,DO⊥BC,∴BC⊥面AOD
∴BC⊥AD
(2)作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,因为AB=AC=BC=
2 |
∵M是AC的中点,则BM=
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
| ||
3 |
∴∠BMN=arccos
| ||
3 |
(3)设E是所求的点,作EF⊥CH于F,连FD.则EF∥AH,
∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,
则∠EDF=30°.
设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=
1+x2 |
∴tan∠EDF=
EF |
FD |
x | ||
|
| ||
3 |
解得x=
| ||
2 |
则CE=
2 |
故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.
点评:本小题主要考查棱锥的结构特征,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.
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