题目内容
(2012•贵州模拟)给出下列四个命题:
(1)命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题为假命题;
(2)命题p:?x∈R,sinx≤1.则¬p:?x0∈R,使sinx0>1;
(3)“φ=
+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+?)为偶函数”的充要条件;
(4)命题p:“?x0∈R,使sinx0+cosx0=
”;命题q:“若sinα>sinβ,则α>β”,那么(¬p)∧q为真命题.
其中正确的个数是( )
(1)命题“若α=
π |
4 |
(2)命题p:?x∈R,sinx≤1.则¬p:?x0∈R,使sinx0>1;
(3)“φ=
π |
2 |
(4)命题p:“?x0∈R,使sinx0+cosx0=
3 |
2 |
其中正确的个数是( )
分析:(1)先判断原命题的真假,利用原命题与逆否命题的等价性即可判断出;
(2)利用命题p与¬p的关系即可判断出;
(3)利用偶函数的定义及三角函数的最值即可判断出;
(4)先判断命题p、q真假,进而即可判断(¬p)∧q真假.
(2)利用命题p与¬p的关系即可判断出;
(3)利用偶函数的定义及三角函数的最值即可判断出;
(4)先判断命题p、q真假,进而即可判断(¬p)∧q真假.
解答:解:(1)∵命题“若α=
,则tanα=1”是真命题,所以其逆否命题亦为真命题,因此(1)不正确;
(2)根据“命题p:?x∈R,p(x)成立”的¬p为“?x0∈R,p(x)的反面成立”,可知正确.
(3)当φ=
+kπ(k∈Z)时,则函数y=sin(2x+φ)=sin(2x+
+kπ)=±cos2x为偶函数;
反之也成立.故“φ=
+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+?)为偶函数”的充要条件;
(4)∵sinx+cosx=
sin(x+
)≤
<
,故不存在x0使sinx0+cosx0=
成立,
∴命题p是假命题,¬p是真命题;
对于命题q:取α=
,β=π,虽然sin
=1>0=sinπ,但是α<β,故命题q是假命题.
∴(¬p)∧q为假命题,因此(4)不正确.
综上可知:真命题的个数2.
故选B.
π |
4 |
(2)根据“命题p:?x∈R,p(x)成立”的¬p为“?x0∈R,p(x)的反面成立”,可知正确.
(3)当φ=
π |
2 |
π |
2 |
反之也成立.故“φ=
π |
2 |
(4)∵sinx+cosx=
2 |
π |
4 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
∴命题p是假命题,¬p是真命题;
对于命题q:取α=
π |
2 |
π |
2 |
∴(¬p)∧q为假命题,因此(4)不正确.
综上可知:真命题的个数2.
故选B.
点评:熟练掌握命题间的关系、p与¬p、三角函数的奇偶性、有界性和单调性是解题的关键.
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