Question

动点M的坐标（x，y）在其运动过程中总满足关系式

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6．
（1）点M的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；
（2）已知定点T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值为1，求t的值．

Answer 1

（1）由于点（x，y） 满足

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6，即点（x，y） 到两个定点（-

5

，0）、（

5

，0）的距离之和等于常数6，
由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且 a=3，c=

5

，故b=2，故椭圆的标准方程为  

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）由于 |MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-

x2

9

)，0≤x≤3，
记f(x)=(x-t)2+4(1-

x2

9

)=

5

9

(x-

9

5

t)2-

4

5

t2+4，0≤x≤3．
①当0≤

9

5

t＜3，即0＜t＜

5

3

时，

|MT|2

min

=f(

9

5

t)=-

4

5

t2+4，又

|MT|2

min

=1，
∴-

4

5

t2+4=1，解得t=

15

2

，而t=

15

2

∉(0，

5

3

)，故舍去．
②当

9

5

t≥3，即

5

3

≤t＜3时，

|MT|2

min

=f(3)=t2-6t+9，又

|MT|2

min

=1，
∴t²-6t+9=1，解得t=2或t=4，而4∉[

5

3

，3)，2∈[

5

3

，3)，故t=4不符合题意，t=2符合题意．
综上可知，t=2．