Question

动点M的坐标（x，y）在其运动过程中总满足关系式

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4．
（1）点M的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；
（2）已知直线y=x+t与M的轨迹交于A、B两点，且OA⊥OB（O为原点），求t的值．

Answer 1

分析：（1）根据

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4，可得（x，y）与(-

3

，0)，(

3

，0)的距离之和等于常数4，由椭圆的定义可知点M的轨迹，从而可得椭圆的方程；
（2）直线y=x+t与M的轨迹方程联立，消去y，利用韦达定理及OA⊥OB，即可求得t的值．

解答：0解：（1）∵

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4
∴（x，y）与(-

3

，0)，(

3

，0)的距离之和等于常数4，
由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a=2，c=

3

0
∴b=1，故椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）直线y=x+t与M的轨迹方程联立，消去y可得5x²+8tx+4t²-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8t

5

，x₁x₂=

4t2-4

5

，
∴y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=

4t2-4

5

-

8t2

5

+t²=-

4

5

+

1

5

t^{20000000000000000000000000}
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=

4t2-4

5

-

4

5

+

1

5

t²=0
∴t=±

2 10

5

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，求得椭圆的方程，正确运用韦达定理是关键．