Question

动点M的坐标（x，y）在其运动过程中总满足关系式

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6．
（1）点M的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；
（2）已知定点T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值为1，求t的值；
（3）设直线l不经过原点O，与动点M的轨迹相交于A，B两点，点G为线段AB的中点，直线OG与该轨迹相交于C，D两点，若直线AB，CD，AC，AD，DB，BC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，k₅，k₆，求证：k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆．

Answer 1

分析：（1）根据

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6，可得（x，y）到(-

5

，0)，(

5

，0)的距离的和为6，大于两定点间的距离2

5

，故点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a=3，c=

5

，从而可求椭圆的标准方程；
（2）|MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-

x2

9

)，0≤x≤3，构造函数，配方可得f(x)=(x-t)2+4(1-

x2

9

)=

5

9

(x-

9

5

t)2-

4

5

t2+4，0≤x≤3，再进行分类讨论，利用|MT|的最小值为1，即可求t的值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，设C（x₃，y₃），则D（-x₃，-y₃）
根据点在椭圆上，利用点差法，即可证得结论．

解答：（1）解：∵

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6．
∴（x，y）到(-

5

，0)，(

5

，0)的距离的和为6，大于两定点间的距离2

5

∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a=3，c=

5

∴b²=4
∴椭圆的标准方程为：

x2

9

+

y2

4

=1
（2）解：|MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-

x2

9

)，0≤x≤3
记f(x)=(x-t)2+4(1-

x2

9

)=

5

9

(x-

9

5

t)2-

4

5

t2+4，0≤x≤3
①当0≤

9

5

t＜3，即0＜t＜

5

3

时，

|MT|2

min

=f(

9

5

t)=-

4

5

t2+4，
又

|MT|2

min

=1，∴-

4

5

t2+4=1，解得t=

15

2

，而t=

15

2

∉(0，

5

3

)，故舍去
②当

9

5

t≥3，即

5

3

≤t＜3时，

|MT|2

min

=f(3)=t2-6t+9，
又

|MT|2

min

=1，∴t²-6t+9=1，解得t=2或t=4，而t=4∉[

5

3

，3)，故舍去
又t=2∈[

5

3

，3)，故t=2符合题意；综上可知，t=2
（3）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由

x12 9 + y12 4 =1 x22 9 + y22 4 =1

⇒

1

9

(x12-x22)+

1

4

(y12-y22)=0
∴k1•k2=

y1-y2

x1-x2

•

y0

x0

=

y1-y2

x1-x2

•

2y0

2x0

=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

y12-y22

x12-x22

=-

4

9

，
设C（x₃，y₃），则D（-x₃，-y₃）
由

x12 9 + y12 4 =1 x32 9 + y32 4 =1

⇒

1

9

(x12-x32)+

1

4

(y12-y32)=0，
∴k3•k4=

y1-y3

x1-x3

•

y1+y3

x1+x3

=

y12-y32

x12-x32

=-

4

9

，
同理k5•k6=-

4

9

，
∴k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查配方法求函数的最值，考查点差法的运用，解题的关键是正确分类，合理运用点差法．