Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱AB，AA₁的中点，求证：三条直线DA，CE，D₁F交于一点．

Answer 1

分析：欲证：三条直线DA，CE，D₁F交于一点，先将其中一条直线看成是两个平面的交线，再证明另外两条直线的交点是这两个平面的公共点，由平面的基本性质，从而证得三条直线交于一点．

解答：证明：连接EF、CD₁、BA₁，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
点E，F分别是棱AB，AA₁的中点，∴EF∥BA₁，EF=

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BA1，
又A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁∴四边形A₁BCD₁为平行四边形，∴BA₁∥CD₁BA₁=CD₁
∴EF∥CD₁，EF=

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CD1∴四边形是梯形，
∴D₁F与CE的延长线交于一个点，设为O点，
则有O∈D₁F，D₁F?平面AD₁，
∴O∈平面AD₁，同理O∈平面AC，且平面AD₁∩平面AC=AD
∴O∈AD，∴三条直线DA，CE，D₁F交于一点．

点评：本小题主要考查平面的基本性质及推论、确定平面的条件、共点的证明方法、棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．