题目内容
18、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．
分析：（1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；
（2）证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，证明A1D⊥面BB1C1C即可．
（2）证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，证明A1D⊥面BB1C1C即可．
解答：证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，
所以EF∥BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥平面ABC；
（2）因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D?面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
所以EF∥BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥平面ABC；
（2）因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D?面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
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