题目内容

函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],那么y=f(x)叫做对称函数,现有f(x)=
2-x
-k是对称函数,那么k的取值范围是
[2,
9
4
)
[2,
9
4
)
分析:函数f(x)=
2-x
-k
在定义域(-∞,2]上是减函数,由②可得 f(a)=-a,f(b)=-b,由此推出 a和 b 是方程
2-x
-k=-x
在(-∞,2]上的两个根.利用换元法,转化为∴k=-t2+t+2=-(t-
1
2
2+
9
4
在[0,+∞)有两个不同实根,解此不等式求得 k 的范围即为所求.
解答:解:由于f(x)=
2-x
-k
在(-∞,2]上是减函数,故满足①,
又f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],
∴所以
2-a
-k=-a
2-b
-k=-b
a和 b 是关于x的方程
2-x
-k=-x
在(-∞,2]上有两个不同实根.
令t=
2-x
,则x=2-t2,t≥0,
∴k=-t2+t+2=-(t-
1
2
2+
9
4

∴k的取值范围是k∈[2,
9
4
)

故答案为:[2,
9
4
)
点评:本题考查函数的单调性的应用,求函数的值域,体现了转化的数学思想,得到a和 b 是方程
2-x
-k=-x
在(-∞,2]上的两个根,是解题的难点,属中档题.
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