Question

若不等式|2x+1|+|2x-3|＜|a-1|的解集非空，则a的取值范围是

（-∞，-3）∪（5，+∞）

．

Answer 1

分析：把不等式转化为最值，求出|2x+1|+|2x-3|的最小值，即可求得a的范围．

解答：解：关于x的不等式|a-1|＞|2x+1|+|2x-3|的解集非空等价于|a-1|＞（|2x+1|+|2x-3|）_min．
由于|2x+1|+|2x-3|=2（|x+

1

2

|+|x-

3

2

|），表示数轴上的x对应点到-

1

2

和

3

2

对应点的距离之和的2倍，
它的最小值等于2×2=4，
所以，a-1＞4或a-1＜-4，所以实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（5，+∞）．
故答案为：（-∞，-3）∪（5，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题．