题目内容
（1）设f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d是常数．如果f（1）=10，f（2）=20，f（3）=30，求f（10）+f（-6）的值；
（2）若不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围．
（2）若不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围．
分析：（1）由f（1）=10，f（2）=20，f（3）=30，可构造函数g（x）=f（x）-10x，易得1，2，3为方程f（x）-10x=0的三个根，而四次方程最多可由四个根，则可设方程f（x）-10x=0的另一根为m，进而得到f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x，代入可求出f（10）+f（-6）的值；
（2）不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，可化为函数f（m）=（x2-1）m-（2x-1）＞0恒成立，结合一次函数的图象和性质，构造不等式组可求x的取值范围．
（2）不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，可化为函数f（m）=（x2-1）m-（2x-1）＞0恒成立，结合一次函数的图象和性质，构造不等式组可求x的取值范围．
解答：解：（1）构造函数g（x）=f（x）-10x，则g（1）=g（2）=g（3）=0，
即1，2，3为方程f（x）-10x=0的三个根
∵方程f（x）-10x=0有四个根，
故可设方程f（x）-10x=0的另一根为m
则方程f（x）-10x=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）
∴f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x
故：f（10）+f（-6）
=（10-1）（10-2）（10-3）（10-m）+100+（-6-1）（-6-2）（-6-3）（-6-m）-60
=8104．
（2）原不等式可化为（x2-1）m-（2x-1）＜0，
构造函数f（m）=（x2-1）m-（2x-1）（-2≤m≤2），
其图象是一条线段．
根据题意，只须：
即
解得
＜x＜
．
即1，2，3为方程f（x）-10x=0的三个根
∵方程f（x）-10x=0有四个根，
故可设方程f（x）-10x=0的另一根为m
则方程f（x）-10x=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）
∴f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x
故：f（10）+f（-6）
=（10-1）（10-2）（10-3）（10-m）+100+（-6-1）（-6-2）（-6-3）（-6-m）-60
=8104．
（2）原不等式可化为（x2-1）m-（2x-1）＜0，
构造函数f（m）=（x2-1）m-（2x-1）（-2≤m≤2），
其图象是一条线段．
根据题意，只须：
|
即
|
解得
-1+
| ||
| 2 |
1+
| ||
| 2 |
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的值，一元二次不等式的应用，函数恒成立问题，（1）的关键是构造出函数f（x）的解析式，（2）的关键是将问题转化为函数恒成立问题．
练习册系列答案
相关题目