Question

下列命题正确的个数为 （　　）
①已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的范围是[1，7]；
②若不等式2x-1＞m（x²-1）对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的范围是（

7 -1

2

，

3 +1

2

）；
③如果正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[8，+∞）
④a=log 

1

3

2，b=log

1

2

3，c=（

1

3

）^0.5大小关系是a＞b＞c．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①借助线性规划的知识可解得；②变m为主元，利用恒成立可求得x的范围；③借助基本不等式可得ab的范围；④借助指对数函数的单调性可判断大小．

解答：解：①令3x-y=z，作出可行域和直线l：y=3x，

可知当直线y=3x-z过点A（0，-1）（直线x+y=-1与x-y=1的交点）时，z有最小值1，当直线过点B（2，-1）（直线x-y=3与直线x+y=1的交点）时，z有最大值7，
故3x-y的范围是[1，7]，故①正确；
②原不等式可整理为（x²-1）m-2x+1＞0，令f（m）=（x²-1）m-2x+1，
∵不等式2x-1＞m（x²-1）对满足|m|≤2的所有m都成立
∴

f(-2)＞0 f(2)＞0

，解得

2x2+2x-3＜0 2x2-2x-1＞0

，即

-1- 7

2

＜x＜

1- 3

2

，故②错误；
③∵正数a，b且满足ab=a+b+3，
∴ab=a+b+3≥2

ab

+3，
∴(

ab

-1)2≥4，
∴

ab

-1≤-2（舍），或

ab

-1≥2，
∴ab≥9，即ab的范围是[9，+∞），故③错误；
④因为对数的底数小于1，而真数大于1，故对数值为负，即a＜0，b＜0，由指数函数可知c＞0，故④错误．
故正确答案为：①．
故选A．

点评：本题主要考查了命题真假的判断，涉及线性规划的知识、不等式的恒成立中参数范围的求解、基本不等式、指对数函数的性质等，属综合题．解题中要注意常规解题方法的使用与总结，属于中档题．