Question

4．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点D在边BC上，∠BAD=45°，则tan∠CAD的值为$\frac{8+\sqrt{15}}{7}$．．

Answer 1

分析 先用余弦定理求出cos∠BAC，根据同角三角函数关系式即可求出sincos∠BAC，tan∠BAC，再用两角和正切公式即可求得tan∠CAD的值．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{9+4-16}{2×3×2}$=-$\frac{1}{4}$，
所以可得：sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
所以可得：tan∠BAC=$\frac{sin∠BAC}{cos∠BAC}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}$=-$\sqrt{15}$，
由于：tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）=$\frac{tan∠BAD+tan∠CAD}{1-tan∠BAD•tan∠CAD}$=$\frac{1+tan∠CAD}{1-tan∠CAD}$=-$\sqrt{15}$，从而解得：tan∠CAD=$\frac{8+\sqrt{15}}{7}$．
故答案为：$\frac{8+\sqrt{15}}{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数关系式，两角和正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．