题目内容
如图,四面体ABCD中,△ABD和△BCD均为等边三角形,BD=2,O是BD的中点,且AO⊥平面BCD.(1)求二面角A-BC-D的大小(结果用反三角函数表示);
(2)求点O到平面ACD的距离.
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【答案】分析:(1)以O为原点,OB、OC、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面BCD,面ABC的一个法向量,利用两个发向量夹角求解.
(2)求出平面ACD的一个法向量
,点O到平面ACD的距离 为
在
方向上投影的绝对值.
解答:解:
(1)因为△ABD和△BCD都是等边三角形,O是BD中点,所以AO⊥BD,CO⊥BD,以O为原点,OB、OC、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.…(1分)
则O(0,0,0),
,B(1,0,0),
,D(-1,0,0),…(2分)
因为AO⊥平面BCD,所以平面BCD的一个法向量为
,…(3分)
,
,
设平面ABC的一个法向量为
,
则
,
,所以
,
,
即
,令z=1,得
,y=1,所以
,…(5分)
设
与
的夹角为θ,则
,…(6分)
由图形可知,二面角A-BC-D为锐角,
所以二面角A-BC-D的大小为
.…(7分)
(2)设平面ACD的一个法向量为
,则
,
,
又
,
,…(8分)
所以,由
,得
,令
,则v=1,w=1,
故
,…(10分)
因为
,
,…(12分)
所以点O到平面ACD的距离为
.…(14分)
点评:本题考查二面角、空间距离大小计算.考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
(2)求出平面ACD的一个法向量
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解答:解:
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则O(0,0,0),
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因为AO⊥平面BCD,所以平面BCD的一个法向量为
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设平面ABC的一个法向量为
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则
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即
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设
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由图形可知,二面角A-BC-D为锐角,
所以二面角A-BC-D的大小为
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(2)设平面ACD的一个法向量为
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又
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所以,由
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故
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因为
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所以点O到平面ACD的距离为
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点评:本题考查二面角、空间距离大小计算.考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
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