Question

【题目】已知函数，若函数在区间内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

讨论0＜x≤时与＜x＜π时函数解析式，令k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案.

解：（1）当0＜x≤时，设k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx+cosx＝sin（x+），则t∈[1，]，

k＝t﹣2（t2﹣1）＝﹣2t2+ t+2，t∈[1，]为单调函数，

则可知当t＝1时，即k＝1时，一解；

当t＝时，即k＝时，一解；

当1＜t＜时，即﹣2＜k＜1时两解；

（2）当＜x＜π时，设k＝sinx﹣cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx﹣cosx＝sin（x﹣），则t∈（1，]，

k＝t+2（t2﹣1），t∈（1，]也为单调函数，

则可知当1＜t＜时，即1＜k＜2+时两解，

当t＝时，即k＝时一解，

综上：k＝1或k＝﹣2或k＝，

故所有k的和为.

故答案为：.