题目内容
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=1 | 2 |
(1)若a=1,求P(x0,y0)及b的值;
(2)用a来表示b,并求b的最大值.
分析:(1)求出f(x),g(x)的导数,求出两个导函数在x0的值即点p处的切线斜率,求出b的值.
(2)利用f(x),g(x)在x0处的导数值相等,得到关于a,b的等式,分离出b,求出b的导数,令导数为0求出根,判断根左右两边的符号求出极值,即最值.
(2)利用f(x),g(x)在x0处的导数值相等,得到关于a,b的等式,分离出b,求出b的导数,令导数为0求出根,判断根左右两边的符号求出极值,即最值.
解答:解:(1)若a=1时,f(x)=
x2+2x, g(x)=3lnx+b
分别求导数:f′(x)=x+2, g′(x)=
…(2分)
∵在P(x0,y0)的切线是同一条直线.
∴f′(x0)=x0+2, g′(x0)=
,且x0+2=
,解得:x0=-3或1--(4分)
∵定义在(0,+∞)上,
∴x0=-3舍去,将x0=1代入f(x)=
x2+2x得y0=
…(6分)
∴公共点P(1,
),…(7分)
代入g(x)=3lnx+b∴b=
…(8分)
(2)分别求导数:f′(x)=x+2a,g′(x)=
…(10分)
在P(x0,y0)的切线是同一条直线.
∴x0+2a=
,即x0=-3a或a,其中x0=-3a舍去…(12分)
∴x0=a而f(x0)=g(x0)得到:b=
a2-3a2lna( a>0)…(13分)
令b=h(t)=
t2-3t2lnt(t>0)
∴h'(t)=2t-6tlnt
令h'(t)=2t-6tlnt=0,解得t=e
…(14分)
当h'(t)>0时,t∈(0,e
)
当h'(t)<0时,t∈(e
,+∞)…(15分)
∴当t=e
时h(t)取到最大值,即bmax=
e
-3e
lne
=
e
----(16分)
1 |
2 |
分别求导数:f′(x)=x+2, g′(x)=
3 |
x |
∵在P(x0,y0)的切线是同一条直线.
∴f′(x0)=x0+2, g′(x0)=
3 |
x0 |
3 |
x0 |
∵定义在(0,+∞)上,
∴x0=-3舍去,将x0=1代入f(x)=
1 |
2 |
5 |
2 |
∴公共点P(1,
5 |
2 |
代入g(x)=3lnx+b∴b=
5 |
2 |
(2)分别求导数:f′(x)=x+2a,g′(x)=
3a2 |
x |
在P(x0,y0)的切线是同一条直线.
∴x0+2a=
3a2 |
x0 |
∴x0=a而f(x0)=g(x0)得到:b=
5 |
2 |
令b=h(t)=
5 |
2 |
∴h'(t)=2t-6tlnt
令h'(t)=2t-6tlnt=0,解得t=e
1 |
3 |
当h'(t)>0时,t∈(0,e
1 |
3 |
当h'(t)<0时,t∈(e
1 |
3 |
∴当t=e
1 |
3 |
5 |
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
3 |
2 |
2 |
3 |
点评:本题考查曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率;求函数的极值,先求出导数,令导数为0,注意一定判断根左右两边的符号.
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