题目内容

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=
12
x2+2ax ,  g(x)=3a2lnx+b
,其中a>0,设两曲线有公共点P(x0,y0),且在点P(x0,y0)处的切线是同一条直线.
(1)若a=1,求P(x0,y0)及b的值;
(2)用a来表示b,并求b的最大值.
分析:(1)求出f(x),g(x)的导数,求出两个导函数在x0的值即点p处的切线斜率,求出b的值.
(2)利用f(x),g(x)在x0处的导数值相等,得到关于a,b的等式,分离出b,求出b的导数,令导数为0求出根,判断根左右两边的符号求出极值,即最值.
解答:解:(1)若a=1时,f(x)=
1
2
x2+2x,  g(x)=3lnx+b

分别求导数:f′(x)=x+2,  g′(x)=
3
x
…(2分)
∵在P(x0,y0)的切线是同一条直线.
f′(x0)=x0+2,  g′(x0)=
3
x0
,且x0+2=
3
x0
,解得:x0=-3或1--(4分)
∵定义在(0,+∞)上,
∴x0=-3舍去,将x0=1代入f(x)=
1
2
x2+2x
y0=
5
2
…(6分)
∴公共点P(1,
5
2
)
,…(7分)
代入g(x)=3lnx+b∴b=
5
2
…(8分)
(2)分别求导数:f′(x)=x+2a,g′(x)=
3a2
x
…(10分)
在P(x0,y0)的切线是同一条直线.
x0+2a=
3a2
x0
,即x0=-3a或a,其中x0=-3a舍去…(12分)
∴x0=a而f(x0)=g(x0)得到:b=
5
2
a2-3a2lna
( a>0)…(13分)
b=h(t)=
5
2
t2-3t2lnt
(t>0)
∴h'(t)=2t-6tlnt
令h'(t)=2t-6tlnt=0,解得t=e
1
3
…(14分)
当h'(t)>0时,t∈(0,e
1
3
)

当h'(t)<0时,t∈(e
1
3
,+∞)
…(15分)
∴当t=e
1
3
时h(t)取到最大值,即bmax=
5
2
e
2
3
-3e
2
3
lne
1
3
=
3
2
e
2
3
----(16分)
点评:本题考查曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率;求函数的极值,先求出导数,令导数为0,注意一定判断根左右两边的符号.
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