题目内容

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率 $数学公式$ ，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M是椭圆上异于A_l，A₂的任意一点，设直线MA₁，MA₂的斜率分别为 $数学公式$ ，证明 $数学公式$ 为定值．

（I）解：设椭圆的方程为 $\text{[math]}$
∵离心率 $\text{[math]}$ ，∴a²=3c²，∴b²=2c²
∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切
∴b= $\text{[math]}$
∴c²=1
∴a²=3
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A₁（- $\text{[math]}$ ，0），A₂（ $\text{[math]}$ ，0），
设M点坐标（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是定值- $\text{[math]}$ 是定值．
分析：（I）设椭圆的方程，利用离心率 $\text{[math]}$ ，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用M点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．

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已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若

，求证：λ₁+λ₂为定值．

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，点M是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，设直线MA₁、MA₂的斜率分别为kMA1、kMA2，证明kMA1•kMA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程

=1，A₁、A₂为长轴两个端点，M为椭圆上异于A₁、A₂的点，kMA1、kMA2分别为直线MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得kMA1•kMA2=

（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

（2012•香洲区模拟）已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M是椭圆上异于A_l，A₂的任意一点，设直线MA₁，MA₂的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1，kMA2为定值．

已知椭圆C的焦点在x轴，焦距为2

，F₁，F₂是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求此椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线y=x+

与椭圆C有且仅有一个公共点．

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，点M是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，设直线MA₁、MA₂的斜率分别为K_MA1、K_MA2，证明K_MA1•K_MA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程

=1，A₁、A₂为长轴两个端点，M为椭圆上异于A₁、A₂的点，K_MA1、K_MA2分别为直线MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得K_MA1•K_MA2=

（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．