题目内容

2.已知二次函数y=f(x)在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数,图象的顶点在直线y=x-1上,并且图象经过点(-1,-8).
(1)求二次函数y=f(x)的解析式;
(2)若f(x)+m<0对x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

分析 (1)由已知设二次函数的顶点式为y=a(x-2)2+1,将点(-1,-8)代入代入求出a值,可得二次函数y=f(x)的解析式;
(2)若f(x)+m<0对x∈R恒成立,m<-f(x)对x∈R恒成立,求最小值,即可求实数m的取值范围.

解答 解:(1)∵二次函数y=f(x)在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数,
∴对称轴为直线x=2,
∵图象的顶点在直线y=x-1上,
∴顶点坐标为(2,1),
设二次函数的关系式为:y=a(x-2)2+1,
将点(-1,-8)代入得:a=-1
∴二次函数的关系式为:y=-(x-2)2+1;
(2)∵f(x)+m<0对x∈R恒成立,
∴m<-f(x)对x∈R恒成立,
∵-f(x)=(x-2)2-1≥-1,
∴m<-1.

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.

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