题目内容

（2010•昆明模拟）若0＜x＜
π
2
，则函数y=
sin2x+2cos2x
sin2x
的最小值为
2
2
．
分析：由0＜x＜
π
2
，知y=
sin2x+2cos2x
sin2x
=
sin2x+2cos2x
2sinxcosx
=
tanx
2
+
2
tanx
，利用均值不等式能求出最小值．
解答：解：∵0＜x＜
π
2
，∴cosx≠0，tanx＞0，
∴y=
sin2x+2cos2x
sin2x
=
sin2x+2cos2x
2sinxcosx

=
tan2x+2
2tanx
=
tanx
2
+
1
tanx

≥2
tanx
2
×
1
tanx

=
2
．
当且仅当
tanx
2
=
2
tanx
，即tanx=2时，取等号．
∴函数y=
sin2x+2cos2x
sin2x
的最小值为
2
．
故答案为：
2
．
点评：本题考查三角函数的恒等变换及其化简求值，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．
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2
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