题目内容

已知集合,其中,由中的元素构成两个相应的集合:.其中是有序数对,集合中的元素个数分别为.若对于任意的,总有,则称集合具有性质
(I)检验集合是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合
(II)对任何具有性质的集合,证明:
(III)判断的大小关系,并证明你的结论.
(I)
(II)
(III)
解:集合不具有性质
集合具有性质,其相应的集合

(II)证明:首先,由中元素构成的有序数对共有个.
因为,所以
又因为当时,时,,所以当时,
从而,集合中元素的个数最多为

(III)解:,证明如下:
(1)对于,根据定义,,且,从而
如果的不同元素,那么中至少有一个不成立,从而中也至少有一个不成立.
也是的不同元素.
可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即
(2)对于,根据定义,,且,从而.如果的不同元素,那么中至少有一个不成立,从而中也不至少有一个不成立,
也是的不同元素.
可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即
由(1)(2)可知,
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