Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

nan+an-c（c是常数，n∈N*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

8

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据Sn=

1

2

nan+an-c，令n=1代入求出a₁，令n=2代入求出a₂，由a₂=6即可求出c的值，由c的值即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的通项公式即可；
（Ⅱ）利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标，利用

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

2

（

1

2n+2

-

1

2n+4

），把各项拆项后抵消化简后即可得证．

解答：解：（Ⅰ）解：因为Sn=

1

2

nan+an-c，
所以当n=1时，S1=

1

2

a1+a1-c，解得a₁=2c，
当n=2时，S₂=a₂+a₂-c，即a₁+a₂=2a₂-c，解得a₂=3c，
所以3c=6，解得c=2，
则a₁=4，数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+2；
（Ⅱ）因为

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n+2

-

1

2n+4

)
=

1

2

[(

1

4

-

1

6

)+(

1

6

-

1

8

)+…+(

1

2n+2

-

1

2n+4

)]
=

1

2

(

1

4

-

1

2n+4

)
=

1

8

-

1

4(n+2)

．
因为n∈N*，所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

8

．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用拆项法进行数列的求和，是一道综合题．