题目内容
已知O为坐标原点，点A的坐标为（4，2），P为线段OA的垂直平分线上一点，若∠OPA为锐角，则点P的横坐标x的取值范围是
（-∞，1）∪（3，+∞）
（-∞，1）∪（3，+∞）
．分析：先根据条件求出直线OA，PE的方程，得到点P的坐标，再根据∠OPA为锐角对应的
•
＞0即可求出点P的横坐标x的取值范围．
| OP |
| AP |
解答：解：因为O为坐标原点，点A的坐标为（4，2）AO的中点E（2，1）
所以：LOA：y=
x
LPE：y-1=-2（x-2），即y=-2x+5．
设P（x，-2x+5）．
若∠OPA为锐角，则
•
=（x，-2x+5）•（x-4，-2x+3）＞0⇒x2-4x+3＞0⇒x＞3或x＜-1．
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）．
所以：LOA：y=
| 1 |
| 2 |
LPE：y-1=-2（x-2），即y=-2x+5．
设P（x，-2x+5）．
若∠OPA为锐角，则
| OP |
| AP |
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）．
点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角．如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=
即可求解．
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