Question

9．求函数f（x）=4^x+4^-x-2^x+2^-x-4，x∈[0，1）的值域．

Answer 1

分析 把原函数式变形，然后令t=${2}^{x}-{2}^{-x}={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$换元，由x的范围利用单调性求出t的范围，再由配方法求得函数的值域．

解答 解：f（x）=4^x+4^-x-2^x+2^-x-4=（2^x-2^-x）²-（2^x-2^-x）-2，
令t=${2}^{x}-{2}^{-x}={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵x∈[0，1），∴t∈[0，$\frac{3}{2}$），
原函数化为g（t）=t²-t-2=$（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数有最小值为$-\frac{9}{4}$；
当t=$\frac{3}{2}$时，g（t）=$-\frac{5}{4}$．
∴函数f（x）=4^x+4^-x-2^x+2^-x-4，x∈[0，1）的值域为[$-\frac{9}{4}，-\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查函数值域的求法，考查了换元法和配方法求函数的值域，是基础题．