Question

19．已知△ABC的顶点A（1，0，1），B（2，2，2），C（0，2，3），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用两点间的距离公式求得AB、AC、BC的长度，求出夹角，则△ABC的面积是 $\frac{1}{2}$AB×ACsin∠BAC．

解答 解：AB=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{6}$，AC=$\sqrt{（0-1）^{2}+（2-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=3，BC=$\sqrt{（{2-0）}^{2}+（2-2）^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{5}$，cos∠BAC=$\frac{6+9-5}{2×\sqrt{6}×3}$=$\frac{5\sqrt{6}}{18}$，
sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{5\sqrt{6}}{18}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{174}}{18}$
则△ABC的面积是 $\frac{1}{2}$AB×ACsin∠BAC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×\frac{\sqrt{174}}{18}$=$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{29}}{2}$．

点评 本题考查两点间的距离公式，余弦定理的应用，是解题的关键．