Question

14．已知O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}$=（sinα，1），$\overrightarrow{OB}$=（cosα，0），$\overrightarrow{OC}$=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．
（1）若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长；
（2）记函数f（α）=$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CA}$，α∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$），已知：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．试求函数f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知求出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BP}$的坐标，得到P的坐标，利用O，P，C三点共线，得到坐标的关系求出cos²α，然后利用平行四边形法则求|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|，|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|；
（2）利用数量积得到f（α），化简后判断复合角的范围，得到所求值域．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x，y），则 $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（cosα-sinα，-1），$\overrightarrow{BP}$=（x-cosα，y），
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$，
∴x=2cosα-sinα，y=-1
∴点P的坐标为（2cosα-sinα，-1）
由O，P，C三点共线知：$\overrightarrow{OP}∥\overrightarrow{OC}$，所以sinα=2（2cosα-sinα），
∴$\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3}$，∵sin²α+cos²α=1
∴cos²α=$\frac{9}{25}$，
∴|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}+1}$=$\sqrt{2sinαcosα+2}$=$\sqrt{\frac{8}{3}co{s}^{2}α+2}=\frac{\sqrt{74}}{5}$，
|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}+1}$=$\sqrt{2-2sinαcosα}$=$\sqrt{2-\frac{8}{3}co{s}^{2}α}=\frac{\sqrt{26}}{5}$；
所以以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长分别为$\frac{\sqrt{74}}{5}，\frac{\sqrt{26}}{5}$；
（2）∵$\overrightarrow{BP}$=（cosα-sinα，-1），$\overrightarrow{CA}$=（2sinα，-1），
∴f（α）=$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CA}$=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+cos2α=$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$），
∵α∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜2$α+\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，所以$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（2α+\frac{π}{4}）≤1$，
∴f（α）的值域为（-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了向量的坐标运算以及三角函数式的化简以及三角函数式的区域求法；属于中档题．