题目内容

已知函数f(x)=
1+ln(x+1)x
和g(x)=x-1-ln(x+1)
(I)函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?说明理由;
(II)求证:函数y=g(x)在区间(2,3)上有唯一零点;
(III)当x>0时,不等式xf(x)>kg'(x)恒成立,其中g'(x)是g(x)导函数,求正整数k的最大值.
分析:(I)先求导函数f′(x)=
1
x2
[
x
x+1
-1-ln(x+1)]=
-1
x2
[
1
x+1
+ln(x+1)]
,可以判断f'(x)<0,从而函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数;
(II)可以证明g(x)在(2,3)上是增函数,再利零点存在定理即可证明;
(III)利用分离参数法得k<
(x+1)[1+ln(x+1)]
x
,再求其最值即可.
解答:解:(I)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
由于f′(x)=
1
x2
[
x
x+1
-1-ln(x+1)]=
-1
x2
[
1
x+1
+ln(x+1)]
…(2分)
∵x>0,∴x2>0,
1
x+1
>0,ln(x+1)>0

所以f'(x)<0故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.…(4分)
(II)因为g′(x)=1-
1
x+1
=
x
x+1
>0

所以g(x)在(2,3)上是增函数…(6分)
又g(2)=1-ln3<0,g(3)=2-ln4=2(1-ln2)>0
所以,函数y=g(x)在区间(2,3)上有唯一零点.…(8分)
(III)当x>0时,不等式xf(x)>kg'(x)恒成立
k<
(x+1)[1+ln(x+1)]
x
对于x>0恒成立
h(x)=
(x+1)[1+ln(x+1)]
x
,则h′(x)=
x-1-ln(x+1)
x2
…(9分)
由(II)知g(x)=x-1-ln(x+1)在区间(0,+∞)上是增函数,
且g(x)=0存在唯一实数根a,满足a∈(2,3),即a=1+ln(a+1)…(10分)
由x>a时,g(x)>0,h'(x)>0;0<x<a时,g(x)<0,h'(x)<0
知h(x)(x>0)的最小值为h(a)=
(a+1)[1+ln(a+1)]
a
=a+1∈(3,4)

故正整数k的最大值为3.…(12分)
点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,利用分离参数法求解恒成立问题,有一定的综合性.
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