Question

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式。
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

Answer 1

（I）①
②
（Ⅱ）选择函数模型①，P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。

本小题考查函数最值的应用。
（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则
故，又，所以
。
②，则，所以，
所以所求的函数关系式为。
（Ⅱ）选择函数模型①。
。
令得，又，所以。
当时，，是的减函数；时，，是的增函数。
所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。