题目内容
【题目】已知正四面体P-ABC的棱长均为a,O为正四面体P-ABC的外接球的球心,过点O作平行于底面ABC的平面截正四面体P-ABC,得到三棱锥P-A1B1C1和三棱台ABC-A1B1C1,那么三棱锥P-A1B1C1的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
先求正四面体P-ABC的高和外接球半径,再根据正四面体P-ABC与三棱锥P-A1B1C1相似,用高求出相似比,求得三棱锥P-A1B1C1的外接球的半径,从而求得外接球的表面积.
作示意图如图所示,为
的中心,
为三角形
的中心,
则,
,则正四面体P-ABC的高
=
a,则R2=
2+
2,
解得R=a. 三棱锥P-A1B1C1的高为
,
,∴∶
=3∶4,
所以三棱锥P-A1B1C1的外接球的表面积为4π×2×
2=
a2.
故答案为:
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