题目内容
【题目】已知椭圆:
的右焦点
,过点
且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于
,
两点,当直线
经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,线段
上是否存在点
,使得
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)求椭圆标准方程,基本方法为待定系数法,即列两个独立条件,
解出
,
(2)先化简等式:
得
,其中
为线段
的中点为,即所以直线
为直线
的垂直平分线,直线
的垂直平分线过点
,以下转化为中点弦问题,可利用韦达定理,也可利用点差法,得出t的函数解析式,根据对应参数(直线斜率或中点坐标)的取值范围确定实数
的取值范围
试题解析:(1)由题意知,又
,所以
,
,所以椭圆的方程为:
;
(2)设直线的方程为:
,代入
,得:
,设
,线段
的中点为
,
则 ,
由 得:
,
所以直线为直线
的垂直平分线,
直线的方程为:
,
令得:
点的横坐标
,
因为, 所以
,所以
.
所以线段上存在点
使得
,其中
.
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