Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=3，若向量

m

=（sinA，-1）与向量

n

=（2，sinB）垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式即公式asinx+bcosx= 

a2+b2

 sin(x+θ)化简f（x）；利用三角函数的周期公式求出周期；令整体角在正弦的递增区间上求出x的范围即为递增区间．
（II）先求出角C，利用向量垂直的充要条件列出方程得到边a，b的关系；利用余弦定理得到a，b，c的关系，求出a，b．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sin2x+cos2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2（2分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z，
T=

2π

2

=π（4分）
（Ⅱ）由题意可知，f(C)=2sin(2C+

π

6

)+2=3，∴sin(2C+

π

6

)=

1

2

，∵0＜C＜π，∴2C+

π

6

=

π

6

或2C+

π

6

=

5π

6

，即C=0（舍）或C=

π

3

（6分）∵

m

=(sinA，-1)与

n

=(2，sinB)垂直，∴2sinA-sinB=0，即2a=b（8分）∵c2=a2+b2-2abcos

π

3

=a2+b2-ab=3②（10分）
由①②解得，a=1，b=2．（12分）

点评：本题考查三角函数的二倍角公式、考查三角函数的公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)、考查求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考查三角形中的余弦定理．