题目内容
【题目】已知椭圆右焦点
,离心率为
,过
作两条互相垂直的弦
,设
中点分别为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明:直线必过定点,并求出此定点坐标.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据题意确定出c与e的值,利用离心率公式求出a的值,进而求出b的值,确定出椭圆方程即可;
(2)由直线AB与CD向量存在,设为k,表示出AB方程,设出A与B坐标,进而表示出M坐标,联立直线AB与椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出M,同理表示出N,根据M与N横坐标相同求出k的值,得到此时MN斜率不存在,直线MN恒过定点;若直线MN斜率存在,表示出直线MN斜率,进而表示出直线MN,令y=0,求出x的值,得到直线MN恒过定点,综上,得到直线MN恒过定点,求出定点坐标即可;
解:(1) 由题意:,
∴,
则椭圆的方程为
(2) ∵斜率均存在
∴设直线方程为:
,
再设,则有
,
联立得:,
消去得:
,
∴,即
,
将上式中的换成
,同理可得:
,
若,解得:
,直线
斜率不存在,
此时直线过点
;
下证动直线过定点
,
若直线斜率存在,则
,
直线为
,
令,得
,
综上,直线过定点
;
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