Question

3．如图，已知点E、F、G分别为正方形ABCD中边AB、BC、CD的中点，H为CG中点，现沿AF、AG、GF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，在三棱锥B-AFG中．
（1）证明：EH∥平面AFG；
（2）证明：AB⊥平面BFG；
（3）若正方形的边长为2，求四棱锥F-AGHE的体积．

Answer 1

分析 （1）EH是△AFG的中位线，得EH∥AG，故EH∥平面AFG；
（2）因为折叠后B，C，D三点重合为一点B，故折叠后AB⊥BF，AB⊥BG可推出AB⊥平面BFG；
（3）连接EF，HF，则V_棱锥F-AGHEV_棱锥F=V_棱锥F-AGB-V_{棱锥F-EHB．}

解答 证明：（1）由题意可知点E、H在折叠前后都分别是AB、CG的中点（折叠后B、C两点重合），
∴EH∥AG，
∵EH?平面AFG，AG?平面AFG，
∴EH∥平面AFG．
（2）由题意可知AB⊥BF的关系在折叠前后都没有改变．
∵在折叠前AD⊥DG，由于折叠后AD与AB重合，点D与B重合，
∴AB⊥BG，
∵AB⊥BF，AB⊥BG，BF?平面BFG，BG?平面BFG，BF∩BG=B，
∴AB⊥平面BFG．
解：（3）∵折叠前BF⊥AB，CF⊥CG，∴折叠后BF⊥AB，BF⊥BG，
又∵AB∩BG=B，AB?平面ABG，BG?平面ABG，
∴BF⊥平面ABG．
∴V_棱锥F-AGHE=V_棱锥F-AGB-V_棱锥F-EHB=$\frac{1}{3}$S_△ABG•BF-$\frac{1}{3}$S_△BEH•BF
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×1-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定和空间几何体的体积计算，注意折叠前后的垂直关系不变是解决本题的关键．