Question

8．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（$\frac{3π}{4}$）；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）代入化简即可得出；
（II）化简再利用三角函数的周期性与单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）f（$\frac{3π}{4}$）=$2cos\frac{3π}{4}$$（sin\frac{3π}{4}+cos\frac{3π}{4}）$=$2×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）（\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=0；
（Ⅱ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x
=sin2x+cos2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1
$\frac{2π}{2}$=π，
故函数f（x）的最小正周期为π．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式与和差化积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．