Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+bx2+cx(b，c∈R)，且函数f(x)在区间（-1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减．
（I）若b=-2，求c的值；
（II）当x∈[-1，3]时，函数f（x）的切线的斜率最小值是-1，求b、c的值．

Answer 1

分析：（I）由单调递区间的端点可得：1是极值点，从而1是导函数的一个零点，建立等式关系，求出参数c；
（II）讨论对称轴-b与区间[-1，3]的位置关系，从而研究k=f'（x）的最小值，使k_min=-1，求出满足条件的b和c即可．

解答：解：（I）由已知可得f'（1）=0，又f'（x）=x²+2bx+c
所以f'（1）=1+2b+c=0，将b=-2代入，可得c=3；
（II）令k=f'（x），则
1）若b≤-1时，k_min=f'（-1）=1-2b+c=-1
又1+2b+c=0，得b=

1

4

（舍）
2）若-1≤-b≤3，则k_min=f'（-b）=b²-2b²+c=-1
又1+2b+c=0，得b=-2，c=3或b=0，c=-1（舍）
3）若1-b＞3，则k_min=f'（3）=9+6b+c=-1
又1+2b+c=0，得b=-

9

4

（舍）
综上所述，b=-2，c=3

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了二次函数讨论对称轴与定义域的位置关系研究函数的最值，属于基础题．