Question

8、过点（0，1）作直线，使它与抛物线y²=4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）

A、0条

B、1条

C、2条

D、3条

Answer 1

分析：当直线为 x=0，或 y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y²=4x仅有一个公共点．当直线的斜率等于k 时，直线方程为 y-1=k（x-0），代入抛物线方程化简，由判别式等于0解得 k=1，故满足条件的直线共有3条．

解答：解：由题意可得，当直线为 x=0，或 y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y²=4x仅有一个公共点．
当直线的斜率等于k 时，直线方程为 y-1=k（x-0），代入抛物线y²=4x可得 k²x²+（2k-4）x+1=0，
∴△=（2k-4）²-4k²=0，解得  k=1，故满足条件的直线共有3条，
故选D．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和与抛物线相切的条件，体现了分类讨论的数学思想，求出满足条件的直线的斜率，是解题的关键．