题目内容
已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，且|MN|=2，动点p满足：2| OP |
| OM |
| ON |
（I）求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；
（Ⅱ）过点（0，1）作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（I）根据题意可判断出P是MN的中点．设出P，M，N的坐标，根据题意联立方程求得
+
=1，然后对m＞1，o＜m＜1和m=1对方程表示出曲线进行分类讨论．
（II）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用直线方程表示出y1y2，要使∠AOB为锐角，需
•
＞0，利用向量的基本运算整理得m2+
＞ K2 +1，利用基本不等式求得m2+
＞2进而求得k的范围．
| ||
| m2 |
| y2 |
| m2 |
（II）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用直线方程表示出y1y2，要使∠AOB为锐角，需
| OA |
| OB |
| 1 |
| m2 |
| 1 |
| m2 |
解答：解：（I）由2
=
+
，得P是MN的中点．
设P（x，y），M（x1，mx1），N（x2，-mx2）依题意得：
消去x1，x2，整理得
+
=1．
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当o＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m=1时，方程表示圆．
（II）由m＞1，焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线c恒有两交点，
因为直线斜率不存在时不符合题意，
可设直线l的方程为y=kx+1，直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
?（m4+k2）x2+2kx+1-m2=0
x1+x2 =-
，x1x2=-
y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=
+
+1
要使∠AOB为锐角，则有
•
＞0
∴x1x2+y1y2=
＞0
即m4-（k2+1）m2+1＞0，
可得m2+
＞ K2 +1，对于任意m＞1恒成立．
而m2+
＞2，∴K2+1≤2，-1≤k≤1
所以满足条件的k的取值范围是[-1.1]．
| op |
| OM |
| ON |
设P（x，y），M（x1，mx1），N（x2，-mx2）依题意得：
|
消去x1，x2，整理得
| x2 | ||
|
| y2 |
| m2 |
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当o＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m=1时，方程表示圆．
（II）由m＞1，焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线c恒有两交点，
因为直线斜率不存在时不符合题意，
可设直线l的方程为y=kx+1，直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
|
x1+x2 =-
| 2k |
| m4+k2 |
| 1-m2 |
| m4+k2 |
y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=
| k2(1-m2) |
| m4+k2 |
| 2k2 |
| m4+k2 |
要使∠AOB为锐角，则有
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=
| m4-(k2+1)m2+1 |
| m4+k2 |
即m4-（k2+1）m2+1＞0，
可得m2+
| 1 |
| m2 |
而m2+
| 1 |
| m2 |
所以满足条件的k的取值范围是[-1.1]．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生知识的综合运用和分析问题的能力．
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